人の噂方程式

せっかく大学で多少数学を教えてもらったので、
何かに利用しない手はないと思い、とりあえず人の噂について立式してみました。

条件として人の噂は75日ということから、75日目には噂を知っている人は１人以下になること。

1,また、噂は指数関数的に広がるということ。
どういうことかというと例えば噂が一日三人に広がるとして、二日目には三人がそれぞれ三人に広げるので9人。
さらに翌日には9人がそれぞれ三人に広げるので27人といった具合にどんどん増えていきます。

2,しかし、いつまでも三人にまわす人はいないと思います。
いづれ話としては面白くなくなるので、せいぜい二週間くらいで口に出さなくなるでしょう。

3,最後に人は忘れていきます。忘れていくのをここでは前日の数%が翌日には忘れているという設定にしました。

以上を数式に変えていきます。

まず条件1から.
指数関数を表すと
　　　　　　　　　　　　　N(増加)=A^t(Aのt乗)　　　　A:人が伝える人数　t:日数
になります。
全体の数はこれを全て足し合わせたものなので、
　　　　　　　　　　　　　N(増加全体)=ΣA^t
となります。

しかし人は二週間くらいで口に出さなくなるので、
Aの中身を考えます。

ここで一日目に伝える人数をβ、14日に伝える人数を1人として、指数関数として表すと
Aの中身は
A=(β)^(14/13)*(β)^(-t/13)
となります。

最後に忘れる部分を考えます。
これは前日の人数の数％が忘れるので
　　　　　　　　　　　　N(t,減少)=γN(t-1全体) γ:忘却係数
とします。

以上を全て合わせると
N(t,全体)=Σ[(β)^(14/13)*(β)^(-t/13)]^t-γN(t-1,全体)
となりました。
これで75日目に１人以下となるようにβ、γを調節します。
これを解析的に解くのは無理なので、あとは優秀なエクセル君にやってもらいます。

昔こんなことやってました。ほんと昔。もう二年前ですね。
実はちょうどそのときHDDがクラッシュしてデータが消えていたのですが、
今宵復元してみました。

次回にこうご期待。